Γεννήθηκε στην Αθήνα στις 9 Μαΐου του 1960. Γόνος οικογένειας των γραμμάτων και των τεχνών, με τον πατέρα του, Γιώργο, ο οποίος απεβίωσε το 2005, να θεωρείται ένας από τους μεγαλύτερους Ελληνες συνθέτες συμφωνικής μουσικής, καθώς πρόκειται για τον τρίτο σημαντικότερο συνθέτη του 20ού αιώνα, μετά τον Μανώλη Καλομοίρη και τον Νίκο Σκαλκώτα και με τα συμφωνικά του έργα να έχουν διευθύνει οι μεγαλύτεροι Ελληνες μαέστροι, μεταξύ των οποίων και ο Δημήτρης Μητρόπουλος.

Ο Λίνος-Αλέξανδρος Σισιλιάνος, δεν θα μπορούσε έχοντας μεγαλώσει σε ένα τέτοιο περιβάλλον, να μην ακολουθήσει το δρόμο της μουσικής. Ετσι ασχολήθηκε με το βιολί, στο οποίο ολοκλήρωσε τις σπουδές του, ωστόσο, οι σπουδές του στη νομική ήταν εκείνες που τον κέρδισαν τελικά. Πήρε το πτυχίο του το 1983 με βαθμό «άριστα» από τη Νομική Αθηνών, ακολούθησαν το μεταπτυχιακό του στο Στρασβούργο στο Πανεπιστήμιο Robert Schuman στο Διεθνές Δίκαιο το 1984 και το Διδακτορικό του στο ίδιο Πανεπιστήμιο το 1990 με βαθμό «άριστα» και «ειδικό έπαινο» της Επιτροπής.

Ασχολείται χρόνια με τον τομέα των ανθρωπίνων δικαιωμάτων, και έχει διατελέσει επιστημονικός διευθυντής του Ιδρύματος για τα δικαιώματα του ανθρώπου «Αλίκη Μαραγκοπούλου», το οποίο έχει συμβουλευτικό χαρακτήρα σε πολλούς διεθνείς οργανισμούς, ενώ έχει διατελέσει και αντιπρόεδρος της επιτροπής των Ηνωμένων Εθνών για την εξάλειψη των φυλετικών διακρίσεων.

Ο Έλληνας δικαστής το καλοκαίρι του 2011 διαδέχθηκε τον Χρήστο Ροζάκη στη θέση του δικαστή στο Ευρωπαϊκό Δικαστήριο Ανθρωπίνων Δικαιωμάτων και το 2019, η Ολομέλεια του Ευρωπαϊκού Δικαστηρίου τον εξέλεξε ως νέο Πρόεδρο του Δικαστηρίου.  Αυτή είναι η πρώτη φορά που Έλληνας δικαστής, στα 60 χρόνια λειτουργίας του Δικαστηρίου του Στρασβούργου εκλέγεται στη θέση του του προέδρου του Ευρωπαϊκού Δικαστηρίου Δικαιωμάτων του Ανθρώπου.

Σημειώνεται, ότι οι αποφάσεις του Ευρωπαϊκού Δικαστηρίου είναι υποχρεωτικές και η εκτέλεσή τους, παρακολουθείται από την Επιτροπή Υπουργών του Συμβουλίου. Το Δικαστήριο των Δικαιωμάτων του Ανθρώπου απαρτίζεται από δικαστές και ακαδημαϊκούς.

Είναι επίσης Καθηγητής Δημοσίου Διεθνούς Δικαίου στη Νομική Σχολή του Πανεπιστημίου Αθηνών και δικηγόρος παρ’ Αρείω Πάγω. Έχει τιμηθεί με το Βραβείο του Πανεπιστημίου Robert Schuman του Στρασβούργου (1990), με το Διεθνές βραβείο Paul Guggenheim (1992), το Βραβείο Γεωργίου Τενεκίδη (1992) και το Βραβείο Μποδοσάκη (ex aequo, 1996). Όσον αφορά τις διεθνείς του δραστηριότητες έχει υπάρξει μέλος, πρόεδρος και αντιπρόεδρος σε μια σειρά επιτροπών για τα ανθρώπινα δικαιώματα τόσο στην Ελλάδα όσο και στο Συμβούλιο της Ευρώπης και τον Οργανισμό των Ηνωμένων Εθνών. Έχει στο βιογραφικό του τέσσερις μονογραφίες, επιμέλεια ή συνεπιμέλεια 12 συλλογικών τόμων που εκδόθηκαν σε Ελλάδα και εξωτερικό, και περίπου 70 άρθρα και μελέτες σε ελληνικά και διεθνή νομικά περιοδικά.